Круги Эйлера

Круги Эйлера - одна из самых простых тем, которые необходимы Вам для поступления в 5 класс физико-математических лицеев. На самом деле, круги Эйлера - это ни что иное, как графическое представление множеств. Объекты, обладающие определённым свойством находятся внутри круга Эйлера-Венна, не обладающие - находятся вне. Разумеется, обычно на диаграмме присутствует не один круг, а несколько, каждый из которых объединяет объекты с каким-то своим свойством. Любая задача из данного блока сводится к тому, что необходимо посчитать количество элементов в какой-либо области. Разберём на примерах, что же надо делать:

Задачи на множества людей

В классе учится 30 учеников. 15 изучают английский, 17 немецкий и 8 французский. Ни одного языка не знают 3 человека. Также известно, что из всех ребят только один мальчик изучает 2 языка: английский и французский. Сколько человек изучает 3 языка?

Для решения задачи обозначим количество искомых учеников за x (тех, кто изучает 3 языка). Количество учеников, изучающих другое количество языков выразим через x и условия в задаче. Диаграмма Эйлера-Венна в данном случае будет выглядеть следующим образом: Например, ребята, которые знают только английский язык, обозначены красным цветом и их количество ~=15-x-1=14-x.
Article_Eiler_Venn_1

Заметим, что у нас никак не использовано общее количество учеников - это условие и породит то самое уравнение, с помощью которого решится задача:
(14-x)+(17-x)+(7-x)+1+x+3=30
14-x+17-x+7-x+1+x+3=30
42-2x=30
2x=42-30=12
x=12:2=6
Получается, что все 3 языка изучают 6 человек (Можете теперь, зная x, самостоятельно восстановить сколько каких учеников было в классе и проверить ответ)

Задачи на делимость (сложная делимость)

Это задачи уже повышенной сложности. Предварительно советуем изучить тему "делимость". Обязательно к прочтению только тем, кто собирается занимать призовые места.

Для скольких чисел между 1001 и 1523 верно следующее утверждение: число делится на 18 или не делится на 12?

Такое страшное и непонятное условие становится простым, если воспользоваться кругами Эйлера. Понятно, что в этой задаче рассматриваются числа, которые vdots 18 - нас интересуют те, что внутри соответствующего круга. Также есть числа, которые vdots 12 - нас интересуют числа, которые вне. А что же с числами, которые принадлежат обоим множествам? Во-первых, каким общим свойством они обладают, а во-вторых, интересуют ли они нас?

Сначала ответим на первый вопрос. Оказывается, если число одновременно делится на два других числа, то оно делится на Наименьшее Общее Кратное этих двух чисел, то есть на минимальное число, которое делится без остатка на оба исследуемых. Для чисел 12 и 18 НОК есть ничто иное, как число 36, так как 36 vdots 12 и 36 vdots 18, а меньше числа с такими свойствам нет. Итого, в пересечении наших множеств лежат числа, которые vdots 36.

Далее необходимо заметить, что в условии употреблено слово "ИЛИ". Это значит, что для искомых чисел должно быть верно ХОТЯ БЫ ОДНО из предложенных утверждений (возможно и оба). То есть нам подходят числа которые внутри круга чисел, которые vdots 18, а также все числа, которые вне круга vdots 12.

Итак, диаграмма Эйлера-Венна выглядит следующим образом: Штриховкой обозначены те числа, которые и надо найти. Теперь, надеюсь, очевидно, что нам необходимо найти, сколько всего числе в рассматриваемой задаче, из этого количества вычесть количество чисел, которые vdots 12 и прибавить количество чисел, которые vdots 36. Article_Eiler_Venn_1

Итак, приступим:

  1. В задаче рассматриваются числа между 1001 и 1523. Это значит, что мы имеем дело с числами lbrace 1002, 1003, ...1521, 1522 rbrace. Это подряд идущие числа, а, значит, их количество 1522-1002+1=521
  2. Числа, которые vdots 12: lbrace 1008, 1020, ..., 1500, 1512 rbrace. Уменьшим их всех в 12 раз. Получится новый ряд с таким же количеством чисел: lbrace 84, 85, ..., 125, 126 rbrace. Это уже подряд идущие числа. Их 126-84+1=43.
  3. Числа, которые vdots 36: lbrace 1008, 1044, ..., 1476, 1512 rbrace. Уменьшим их в 36 раз. Получится новый ряд с таким же количеством чисел: lbrace 28, 29, ..., 41, 42 rbrace. Это подряд идущие числа. Их 42-28+1=15.

Получается, что искомых чисел 521-43+15=493

Итак, подведём итог. Если Вы собираетесь поступать в 5 класс физико-математического лицея, то общие знания по кругам Эйлера-Венна Вам необходимы. Основная область применения - задачи, где присутствуют множества объектов, обладающих определёнными свойствами, и необходимо найти количество объектов обладающих (или не обладающих) совокупностью указанных свойств.

×

Вход в систему