Последняя цифра квадрата

В олимпиадных задачах часто встречаются задачи, в которых нужно получить число, которое является квадратом или определить, квадратом чего является данное число. Решить такие задачи помогает анализ последней цифры квадрата числа.

Если число $a = b^2$ , то последняя цифра числа a равна последней цифре квадрата последней цифры b. К примеру:

$31329 = 177^2$
$7^2 = 49$ , последняя цифра 49 совпадает с последней цифрой 31329.

Какой может быть последней цифра квадрата

Как мы уже выяснили, что последняя цифра квадрата определяется последней цифрой числа, которое мы возводим в квадрат. Всего возможных последний цифр числа десять: от 0 до 9. А значит и вариантов последней цифры квадрата - не более десяти. Давайте вычислим, что это за варианты:

$0^2 = 0$ - цифра 0
$1^2 = 1$ - цифра 1
$2^2 = 4$ - цифра 4
$3^2 = 9$ - цифра 9
$4^2 = 16$ - цифра 6
$5^2 = 25$ - цифра 5
$6^2 = 36$ - цифра 6
$7^2 = 49$ - цифра 9
$8^2 = 64$ - цифра 4
$9^2 = 81$ - цифра 1

Отсюда получаем, что квадрат числа может заканчиваться только на 0,1,4,5,6 и 9, и не может заканчиваться на 2,3,7 и 8. Данное свойство помогает в решении переборных задач на подбор числа.

Сколько нулей может быть в конце квадрата

Другим интересным замечанием является сколько нулей может быть в конце квадрата. Рассмотрим опять числа a и b: $a = b^2$ . Пусть $b vdots 10$ (делится на 10), тогда число a делится на 100 и имеет два нуля в конце. Пусть число $b vdots 10^n$ , тогда число $a vdots 10^(2n)$ . В таком случае число a имеет 2n нулей в конце.

Итак, квадрат любого числа имеет всегда четное число нулей в конце.

Последняя цифра квадрата

Какой может быть последней цифра квадрата

Сколько нулей может быть в конце квадрата

Вход в систему