Последняя цифра квадрата
В олимпиадных задачах часто встречаются задачи, в которых нужно получить число, которое является квадратом или определить, квадратом чего является данное число. Решить такие задачи помогает анализ последней цифры квадрата числа.
Если число , то последняя цифра числа a равна последней цифре квадрата последней цифры b. К примеру:


Какой может быть последней цифра квадрата
Как мы уже выяснили, что последняя цифра квадрата определяется последней цифрой числа, которое мы возводим в квадрат. Всего возможных последний цифр числа десять: от 0 до 9. А значит и вариантов последней цифры квадрата - не более десяти. Давайте вычислим, что это за варианты:










Отсюда получаем, что квадрат числа может заканчиваться только на 0,1,4,5,6 и 9, и не может заканчиваться на 2,3,7 и 8. Данное свойство помогает в решении переборных задач на подбор числа.
Сколько нулей может быть в конце квадрата
Другим интересным замечанием является сколько нулей может быть в конце квадрата. Рассмотрим опять числа a и b: . Пусть
(делится на 10), тогда число a делится на 100 и имеет два нуля в конце. Пусть число
, тогда число
. В таком случае число a имеет 2n нулей в конце.
Итак, квадрат любого числа имеет всегда четное число нулей в конце.