Последняя цифра квадрата

В олимпиадных задачах часто встречаются задачи, в которых нужно получить число, которое является квадратом или определить, квадратом чего является данное число. Решить такие задачи помогает анализ последней цифры квадрата числа.

Если число a = b^2, то последняя цифра числа a равна последней цифре квадрата последней цифры b. К примеру:

31329 = 177^2
7^2 = 49, последняя цифра 49 совпадает с последней цифрой 31329.

Какой может быть последней цифра квадрата

Как мы уже выяснили, что последняя цифра квадрата определяется последней цифрой числа, которое мы возводим в квадрат. Всего возможных последний цифр числа десять: от 0 до 9. А значит и вариантов последней цифры квадрата - не более десяти. Давайте вычислим, что это за варианты:

0^2 = 0 - цифра 0
1^2 = 1 - цифра 1
2^2 = 4 - цифра 4
3^2 = 9 - цифра 9
4^2 = 16 - цифра 6
5^2 = 25 - цифра 5
6^2 = 36 - цифра 6
7^2 = 49 - цифра 9
8^2 = 64 - цифра 4
9^2 = 81 - цифра 1

Отсюда получаем, что квадрат числа может заканчиваться только на 0,1,4,5,6 и 9, и не может заканчиваться на 2,3,7 и 8. Данное свойство помогает в решении переборных задач на подбор числа.

Сколько нулей может быть в конце квадрата

Другим интересным замечанием является сколько нулей может быть в конце квадрата. Рассмотрим опять числа a и b: a = b^2. Пусть b vdots 10 (делится на 10), тогда число a делится на 100 и имеет два нуля в конце. Пусть число b vdots 10^n, тогда число a vdots 10^(2n). В таком случае число a имеет 2n нулей в конце.

Итак, квадрат любого числа имеет всегда четное число нулей в конце.

×

Вход в систему