Признаки делимости

Для чего же нужны признаки делимости? Ответ очень прост - иногда важно знать, делится ли одно число на другое, а времени на само деление "в столбик" нет. Признак делимости - маленькое простое правило, по которому Вы, глядя на число, сможете понять, будет ли остаток или нет, если Вы захотите разделить его на $2, 3, 5$ или более крупные числа. Для поступления в 5 класс физико-математической школы эти знания нужны из-за значительного увеличения скорости решений всех заданий.

Для поступающих в 5 класс мы приводим все признаки без доказательств,но особо умные и пытливые ребята могут найти доказательства всех признаков самостоятельно. Итак, основные признаки делимости:

Признак делимости на 2

Число $vdots 2 doubleleftright$ последняя цифра $vdots 2$

Пример:
$234420 vdots 2$ , так как $0 vdots 2$

Признак делимости на 3

Число $vdots 3 doubleleftright$ сумма цифр числа $vdots 3$

Пример:
$23494005 vdots 3$ , так как $2+3+4+9+4+0+0+5=27 vdots 3$

Признак делимости на 4

Число $vdots 4 doubleleftright$ число, образованное последними двумя цифрами $vdots 4$

Пример:
$324056 vdots 4$ , так как $56 vdots 4$

Признак делимости на 5

Число $vdots 5 doubleleftright$ последняя цифра $vdots 5$

Пример:
$66845 vdots 5$ , так как $5 vdots 5$

Признак делимости на 6

Число $vdots 6 doubleleftright$ число $vdots 2$ и $vdots 3$

Пример:
$504 vdots 6$ , так как $504 vdots 2$ и $504 vdots 3$ (смотри признаки делимости на 2 и на 3)

Признак делимости на 7

Число $vdots 7 doubleleftright$ разность числа десятков и удвоенной цифры единиц $vdots 7$ . Если по-простому, то необходимо отбросить у исходного числа последнюю цифру и из полученного числа вычесть удвоенную последнюю цифру. Если новое число $vdots 7$ , то и исходное число $vdots 7$ , и наоборот. Обычно, для нового числа повторяют эту операцию с целью понять, делится ли оно на 7. И так далее.

Пример:
На основании числа $27503$ построим новое: $2750-2*3=2744$ . Непонятно, делится ли оно на $7$ . Применим признак и к этому числу. Строим новое: $274-2*4=266$ . И ещё раз: $26-2*6=14$ . Последнее число $vdots 7$ , поэтому и изначальное $27503 vdots 7$

Признак делимости на 8

Число $vdots 8 doubleleftright$ число, образованное тремя последними цифрами $vdots 8$

Пример:
$23424208 vdots 8$ , так как $208 vdots 8$

Признак делимости на 9

Число $vdots 9 doubleleftright$ сумма цифр $vdots 9$

Пример:
$453096 vdots 9$ , так как $4+5+3+0+9+6=27 vdots 9$

Признак делимости на 10

Число $vdots 10 doubleleftright$ число оканчивается на $0$

Пример:
$909780 vdots 10$ , так как оканчивается на $0$

Признак делимости на 11

Число $vdots 11 doubleleftright$ разность сумм цифр, стоящих на чётных и на нечётных местах, $vdots 11$ . Если по-простому, то надо сложить цифры, стоящие на чётных местах; отдельно сложить числа, стоящие на нечётных местах; вычесть одну сумму из другой. Если получится число, кратное $11$ , то и исходное число $vdots 11$

Пример:
$2095841 vdots 11$ , так как $(2+9+8+1)-(0+5+4)=11 vdots 11$

Признак делимости на 13

Число $vdots 13 doubleleftright$ сумма числа десятков и учетверённого числа единиц $vdots 13$ . Признак похож на признак делимости на $7$ . И действия те же самые: на основании исходного числа строим новое и повторяем до тех пор, пока не станет ясно, делится ли число на $13$ .

Пример:
На основании числа $27508$ построим новое: $2750+4*8=2782$ . Непонятно, делится ли оно на $13$ . Применим признак ещё раз. Строим новое число: $278+4*2=286$ . И ещё раз: $28+4*6=52$ . Можно и ещё раз: $5+4*2=13$ Последнее число $vdots 13$ , поэтому и изначальное $27508 vdots 13$