После изучения самого понятия производной следующим вопросом встает нахождение производной функции. В данной статье мы рассмотрим основные методы и приведем примеры.
Таблица производных элементарных функций
Элементарными в математике называют следующий функции: многочлены, степенные функции, показательные функции, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифмическая функция и их комбинации. Эти функции достаточно изучены, в частности для них найдены их производные.
Приведем таблицу производных всех функций, которые изучаются в школе:
Доказательство данных формул лежит за пределами школьной программы, так как требует более глубокого понимания понятия предела функции.
Правила нахождения производных
Процесс нахождения производных в математике называют дифференцированием. Именно это слово чаще всего употребляется в литературе по математическому анализу.
Для поиска производных для различных комбинаций элементарных функций применяются специальные правила дифференцирования.
Основных правил пять:
- Правило суммы и разности
- Правило умножения на константу
- Правило дифференцирования произведения
- Правило дифференцирования частного
- Правило дифференцирования сложной функции
1.Правило суммы и разности
Производная суммы (разности) функций — это сумма (разность) производных функций.
Если говорить математическим языком:
Если говорить более простым языком: для каждого слагаемого производная вычисляется отдельно.
Первое правило является довольно простым, приведем примеры:
2. Правило умножения на константу
Производная произведения константы и функции — это произведение константы и производной функции.Математическим языком правило звучит так: (k*f ( x ))`=k*f ( x ). Простым языком: постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Данное правило тоже не вызывает трудностей, примеры:
3. Правило дифференцирования произведения
Производная произведения двух функций — это сумма произведения производной первой функции на вторую функцию и произведения первой функции на производную второй.
Данное правило сложно воспринимать в текстовом виде. Куда лаконичнее оно выглядит на математическом языке:
Эта формула заметно сложнее первых двух, приведем примеры:
Для нахождения производной произведения трех функций сгруппируем вторую и третью функцию:
Аналогичным образом можно поступить для нахождения производной от произведения большого количества функций.
4. Правило дифференцирования частного
Производная частного двух функций — разность произведения производной делимого на делитель и произведения делимого на производную делителя отнесенная к квадрату делителя.
Данное правило еще сложнее воспринимать в таком виде, так что приведем математическую запись:
5. Правило дифференцирования сложной функции
Сложной называют функцию, аргументом которой является другая функция. Тогда саму функцию называют внешней, а её аргумент — внутренней. Например,
, где внешняя функция синус вычисляется от внутренней функции, состоящей из многочлена.
Дифференцирование сложной функции - процесс несложный, но формулировка правила можем изрядно напугать: Производная сложной функции — произведение производной внешней функции по внутренней функции и производной внутренней функции.
Так как производную функции по другой функции не рассматривают в школах, приведем альтернативную интерпретацию: Производная сложной функции — это произведение производной внешней функции с подстановкой внутренней функции и производной внутренней функции.
Данное правило очень сложно воспринимать и на математическом языке:
Проще не стало? Попробуем разобраться: для начала нам нужно вычислить производную внешней функции по некой переменной t, после чего подставить в данную производную внутреннюю функцию вместо t, полученное выражение необходимо умножить на производную внутренней функции.
Куда проще понять его на примерах:
Разберем первый пример. Внешняя функция — sin(t), внутренняя — 3x. Производная sin(t) равна cos(t), который будет вычисляться от внутренней функции, то есть нужно выполнить подстановку t=3x. Полученное выражение умножим на производную 3x, то есть на 3.
Надеюсь, стало проще!