Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

ЕГЭ по математике — один из самых сложных школьных экзаменов. Он требует не только высокого уровня знаний по предмету, но и внимательности, аккуратности, усидчивости и душевного равновесия. В этой статье мы разберем типичные ошибки, которые допускают учащиеся на ЕГЭ по математике, и научимся их не допускать.

Статья длинная, но уверяю вас, она поможет вам сдать экзамен лучше!

Математические ошибки

На наличие математических ошибок чаще всего сказывается недостаток знаний. В школе нас учат решать задачи по заданным шаблонам, редко подробно объясняя, почему они именно такие, можно ли от них отходить и как действовать, если задача под этот шаблон не попадает. Не имея должного уровня знаний, легко совершить ошибки: неправильно записать ответ, выполнить неправильный переход в решении и напутать понятия. 

Разберем типичные математические ошибки, которые допускают учащиеся на ЕГЭ.

Ответ не доведен до конца

Самая неприятная ошибка — неверно записанный или не доведенный до конца ответ. Даже если он будет правильным, все решение выполнено правильно, его всё равно не засчитают. В чем суть ошибки?

Не определено ОДЗ

В ходе длинного решения легко забыть, какие значения переменной в задаче рассматриваются. При этой ошибке в ответ могут попасть посторонние корни, значения могут стать неадекватными или количество ответов превысит разрешенное (в тестовой части допускается только один ответ).

ОДЗ определяется:

1. природой данных (длина должна быть положительна, количество должно быть целым и так далее);
2. условием задачи (сказано, что абсцисса отрицательна, переменная должна лежать на заданном отрезке и так далее);
3. выражениями задачи (все функции выражения должны быть определены, подробнее в статье «Область определения функции»).

Правильно определив ОДЗ, можно исключить перечисленные ошибки. Кроме того, в письменной части из-за неуказанного ОДЗ могут не засчитать задание, даже если это не повлияло на ответ (и одного балла не дадут). 

1. даже если ОДЗ не влияет на ответ, даже если ОДЗ содержит все вещественные числа, все равно указывайте его;

2. внимательно изучайте условие, в нем могут быть указания, каким может и каким не может быть искомое значение;

3. всегда задумывайтесь о природе данных (длина, масса, количество и так далее).

Ошибка домножения в неравенстве

Этому моменту в школе уделяют совсем мало внимания. Других причин для распространенности этой ошибки не найти. Любое неравенство можно домножить или разделить на любое число, кроме нуля. Если вы умножаете на положительное число, то неравенство сохраняет знак. Если домножаете на отрицательное — меняет знак на противоположный. С этим все просто, обычно такие ошибки не совершаются.

Но куда сложнее с домножением на выражение с переменной, знак которого нам неизвестен. Нужно ли менять знак неравенства в таком случае? Ответ простой: неизвестно. Не знаем знак выражения, не знаем нужно ли изменять знак неравенства. 

1. Не домножайте или не делите неравенство на выражение, чей знак вам неизвестен, или которое может равняться нулю;

2. Если вы решили, что без этого никак, то разберите отдельно случаи, когда выражение положительно, когда отрицательно и когда равно нулю.

Перепутаны минимум и наименьшее значение

Изучение производной и других прелестей математического анализа в школе, как правило, происходит поверхностно. Считается, что вас нужно познакомить с методами исследования функции, а подробно вы изучите материал уже в вузе. Исключениями являются физико-математические лицеи, в которых не всем посчастливилось учиться, там этому уделяют особое внимание.

Как следствие среднестатистический выпускник не отличает точку максимума от максимального значения, а точку минимума от минимального значения. Не совершайте таких ошибок! Это вещи совершенно разные!

Начнем с того, что точка максимума и точка минимума — это точки. Когда нас просят их найти, необходимо узнать, при каком значении независимой переменной (обычно это X) наблюдается максимум или минимум. Его и нужно указать.

Более того, в точках максимума и минимума может не достигаться наибольшее и наименьшее значение функции. Для понимания этого факта необходимо знать, что все эти понятия означают. Детально мы разберем этот вопрос в другой статье.

Когда же нас спрашивают, чему равно наибольшее или наименьшее значение функции, нам нужно найти в прямом смысле слова наибольшее и наименьшее значение (значение зависимой переменной, чаще всего это Y). На графике это значение (да-да, по Y) в самой высокой или самой низкой точке на заданном промежутке.

Минимум и наименьшее значение - разные вещи, хорошо изучите эти понятия и осознайте различия. Аналогично с максимумом и максимальным значением.

Перепутаны функция и производная

В задаче номер 7 профильного экзамена необходимо исследовать функцию по её графику или по графику её производной. Иногда еще и по графику первообразной. Всегда внимательно читайте, какой из них перед вами и что вас спрашивают. Задайте себе вопрос, какую информацию вы можете получить из графика, и как она поможет ответить на вопрос задачи.

Самое частое заблуждение: производная убывает, значит и функция убывает. Но это совершенно не верно, нет никакой связи. Представьте, что вы тормозите на машине, ваша скорость начинает убывать, но вы все еще движетесь вперед. Видите аналогию?

По сути, эти ошибки можно отнести к невнимательности, но часто они допускаются именно из-за слабых знаний по теме «Производная функции».

Точно определите, чей график перед вами. Чтобы правильно делать выводы из них, хорошо изучите понятие производной и как с её помощью исследовать функцию.

Из роста или убывания производной не следует рост или убывание функции.

Неправильная формула

Тут и говорить нечего. Учите формулы, их не так много, точно меньше ста! Треть всех ошибок из-за незнания площади треугольника, производной тангенса и косинуса двойного угла. 

Сделан вывод из рисунка

Классическая ошибка при решении задач по геометрии: делать выводы из рисунка. Нарисован равнобедренный треугольник, а в условии этого нет, или нарисован треугольник, который напоминает прямоугольный, а в условии этого, опять же, нет. Верьте условию. Считаете, что треугольник равнобедренный или прямоугольный? Докажите. В условии не сказано, что отрезки равны, но на рисунке они кажутся одинаковыми? Ничего страшного, они могут быть таковыми, а могут не быть. Вам это предстоит узнать. 

Выводы нужно делать из условия задачи. Если в условии не сказано прямо, что нужно определить что-то на рисунке (как в задаче с клеточками), то лучше вообще на него не смотреть. Нарисуйте свой, опираясь на текст задачи.

Все, что не указано в условии и не сказано в теоремах, требует доказательства.

Невнимательность, неаккуратность и безответственность

Перейдем к ошибкам, которые не связаны с вашими знаниями. Экзамен по математике — довольно серьезное испытание. Хотя бы один тот факт, что мероприятие длится 4 часа, уже является большой проблемой. В жизни школьника редко встречались моменты, когда нужно сосредоточенно что-то делать такой продолжительный промежуток времени. Это большой стресс, который является причиной множества ошибок. Разберем основные.

Дан ответ не на тот вопрос

Одна из самых обидных ошибок — написать в ответ не то, что спрашивали. Спрашивали объем, вычислили площадь, спрашивали косинус угла, написали сам угол. Спрашивали наименьший корень, указали целый множитель из тригонометрических серий. Спрашивали минимум, написали минимальное значение. 

Чаще всего эти ошибки допускаются в задачах по геометрии, в тригонометрических уравнениях (в которых нужно выбрать один кореней из серии) и в текстовых задачах.

После того, как получили ответ, посмотрите еще раз, что просили найти. Задайте себе вопрос: что нашли вы? 

Невыполненная проверка

Проверка — дело добровольное. Но речь идет не о контрольной, от которой максимум зависит оценка в полугодии. Речь об экзамене, от которого зависит ваше поступление в вуз. Обсчитаться можно в самой простой задаче тестовой части, а забыть про ОДЗ — еще проще. Подставьте полученные значения в выражения задачи, все ли сходится? Не делите ли вы на 0? Не вычисляете ли корень из отрицательного числа? Не получилось ли 13,5 человека в классе?

Видите, что можно решить задачу двумя способами? Решите. Получили разные ответы — повод задуматься.

Проверка добровольна только на уроках, на экзамене она максимально важна.

Ошибки переноса на чистовик

Давайте тут коротко. Когда вы переписываете решение с чистовика, вы делаете это машинально, не всегда концентрируясь на то, что вы пишете. Всё равно что записывать под диктовку, не вникая в суть текста. Ошибок легко избежать, если соблюдать следующее правило:

Переписывая на чистовик, выполняйте повторную проверку каждого перехода.

Неверно вписанный в бланк ответ

Внимательно прочитайте правила записи ответа в бланк. Каждый год вступительная страница с правилами отличается, но обычно в ней прямо указан формат ответа, правильное написание цифр и так далее. Ответы тестовой части должны быть записаны в виде целого числа или десятичной дроби. Ответы письменной части нужно записывать в виде развернутого ответа (все решение целиком).

Эмоции, нервы и самоуверенность

Как мы уже выяснили, экзамен длится 4 часа, на протяжении всего времени ученик испытывает стресс разной силы. В таких условиях легко поддаться эмоциям, решить, что все пропало: эту задачу я точно не решу, эта задача слишком сложная, эту задачу я не помню, как решать. Все усугубляется, если не удается вспомнить какую-нибудь формулу или правило. Помните, что весь год вы не сидели на месте, вы что-то учили и как-то готовились. Выдохнете и начните решать. Делайте, что должны.

Или напротив, легко решить, что все просто. Вы так долго готовились, сотни раз видели такие же задачи, какие тут сложности? Очень обманчивое состояние. Расслабленность, которую придает такая самоуверенность, легко вас погубит. Соберитесь, момент ответственный. Есть план: обдумывать каждое действие, проверять все ответы, решать разными способами. Придерживайтесь его, как бы легко всё не казалось.

Плохое физическое состояние

Хорошо выспитесь, поешьте здоровой еды. Иначе голод будет вас отвлекать, а сонливость снизить мозговую активность и внимательность.

При действительно плохом самочувствие позвоните классному руководителю и отправляйтесь к врачу за справкой. Если вы написали экзамен с больной головой, вам уже никто не поможет. В то время как справка о том, что вы не явились на экзамен по состоянию здоровья, даст возможность пересдать в резервный день. В этом нет ничего страшного.

Неправильное планирование времени

Отдельно разберем ошибки планирования. Кажется, что времени достаточно. Но при интенсивной деятельности мозга время летит незаметно. Вы только начали, а уже сообщили, что времени осталось 30 минут. А как же проверка? Как же оформление решения на чистовике? Давайте коротко пробежимся по основным ошибкам.

Решение не в оптимальном порядке

Пробегитесь по всем задачам. Начните с того, в чем уверены. Это ваши гарантированные баллы, не упустите их. Оставив эти задачи на конец, вы рискуете совершить в них ошибку из-за расторопности или усталости. 

Сгруппируйте задачи по темам: сначала алгебру, потом текстовые задачи, потом геометрию. Так мозгу будет проще.

Выберите те задачи, которые вы решите с наименьшей вероятностью. Оставьте их на конец.

Упущенное время на проверку

Обязательно оставьте достаточно времени на проверку всех ответов. Вы сами знаете, сколько это: 10 минут, 20 или 30. Каждый решает сам. Я рекомендую 30-40 минут, так как при выявлении ошибок вам понадобится время на их исправление. Если вы закончили проверку, а время еще осталось, решайте оставшиеся задачи. 

Если вы найдете ошибку, вам понадобится время, чтобы её исправить. Не затягивайте с итоговой проверкой всей работы.

Окончание раньше времени

У вас еще есть время, чтобы решить судьбу вашего результата. Он, напомню, влияет на поступление, а значит и на вашу жизнь. Нужно ли рисковать?

Пробуйте до последнего. Вы ничего не потеряете, если досидите до конца.

Всем, кто дочитал до конца, большой спасибо! Удачи на экзамене и не совершайте ошибок!